Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点．设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题

分析：先根据勾股定理计算出AC=5，由于∠BQP=90°，根据圆周角定理得到点Q在以PB为直径的圆⊙M上，而点Q在AC上，则有AC与⊙M相切于点Q，连结MQ，如图，根据切线的性质得MQ⊥AC，MQ=BM=

1

2

x，然后证明Rt△CMQ∽Rt△CAB，再利用相似比得到

1

2

x：3=（4-

1

2

x）：5，最后解方程即可．

解答：解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=

AB2+BC2

=5，
∵∠BQP=90°，
∴点Q在以PB为直径的圆⊙M上，
∵点Q在AC上，
∴AC与⊙M相切于点Q，
连结MQ，如图，则MQ⊥AC，MQ=BM=

1

2

x，
∵∠QCM=∠BCA，
∴Rt△CMQ∽Rt△CAB，
∴QM：AB=CM：AC，即

1

2

x：3=（4-

1

2

x）：5，
∴x=3．
当P与C重合时，BP=4，
∴BP=x的取值范围是：3≤x≤4，
故答案为：3≤x≤4．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．