Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．

（1）当BP＝　 　时，△MBP～△DCP；

（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；

（3）设⊙P的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3或；（3）

【解析】

（1）设BP=a，则PC=8-a，由△MBP～△DCP知，代入计算可得；

（2）分别求出⊙P与边CD相切时和⊙P与边AD相切时BP的长即可得；

（3）①当PM=5时，⊙P经过点M，点C；②当⊙P经过点M、点D时，由PC2+DC2=BM2+PB2，可求得BP=7，继而知．据此可得答案．

（1）设BP=a，则PC=8-a，

∵AB=8，M是AB中点，

∴AM=BM=4，

∵△MBP～△DCP，

∴，即，

解得，

故答案为：．

（2）如图1，当⊙P与边CD相切时，

设PC=PM=x，

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，

∴x2=42+（8-x）2，

∴x=5，

∴PC=5，BP=BC-PC=8-5=3．

如图2，当⊙P与边AD相切时，

设切点为K，连接PK，

则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM，

∴BM=4，PM=8，

在Rt△PBM中，．

综上所述，BP的长为3或．

（3）如图1，当PM=5时，⊙P经过点M，点C；

如图3，当⊙P经过点M、点D时，

∵PC2+DC2=BM2+PB2，

∴42+BP2=（8-BP）2+82，

∴BP=7，

∴．

综上，．