Question

17．如图，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax²-2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，以MA、MB为邻边作平行四边形MBNA．
①当平行四边形MBNA面积最大时，点N的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
②当平行四边形MBNA面积为整数时，点M的个数为12．

Answer 1

分析 （1）求出A、B两点坐标，把B点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）如图1中，连接OM，设M（m，-m²+2m+3），根据S=S_△BOM+S_△AOM-S_△AOB计算即可．再利用二次函数的性质求出最大值．
（3）①如图2中，设N（x，y），根据中点坐标公式列出方程组即可解决问题．
②如图3中，平行四边形AMBN的面积为S=2•S_△ABM=-m²+5m，求出S的范围，画出图象即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴A（1，0），B（0，3），
把点B（0，3）代入y=ax²-2ax+a+4得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）如图1中，连接OM，设M（m，-m²+2m+3），

∴S=S_△BOM+S_△AOM-S_△AOB=$\frac{1}{2}$•3•m+$\frac{1}{2}$•1•（-m²+2m+3）-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m．（0＜m＜3）．
∵S=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴m=$\frac{5}{2}$时，S有最大值为$\frac{25}{4}$．

（3）①如图2中，设N（x，y）．

∵当△MAB面积最大时，平行四边形MBNA面积最大，由（2）可知，M（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），A（1，0），B（0，3），
∵四边形AMBN是平行四边形，
∴AB与MN互相平分，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+\frac{5}{2}}{2}=\frac{1+0}{2}}\\{\frac{y+\frac{7}{4}}{2}=\frac{0+3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴点N坐标（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
故答案为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

②如图3中，

∵平行四边形AMBN的面积为S=2•S_△ABM=-m²+5m，
∵a=-1＜0，
∴S有最大值=$\frac{25}{4}$，
∴0＜S＜$\frac{25}{4}$，
∵S是整数，∴S=1或2或3或4或5或6．
由图象可知对应的m的值有12个．
故答案为12．

点评 本题考查二次函数的综合题，三角形的面积、二元二次方程组、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型．