Question

5．如图1，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且ON=6cm，∠OMN=30°，点P从点O出发，以2cm/s的速度沿折线O→N→M运动，设点P运动的时间为t（s），△POM的面积为S（cm²）
（1）当S=9$\sqrt{3}$cm²时，请求出点P运动的时间t；
（2）当MP平分∠OMN时，请求出线段OP的长度；
（3）如图2，有一个和△NOM全等的△AOB，OB与OM重合，现将△AOB绕点O逆时针旋转α°（0＜α＜180），直线AB与直线MN交于点E，直线OB与直线MN交于点F，在旋转过程中△EFB为等腰三角形，请直接写出α的度数及其对应的点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）分点P在ON和MN上两种情况用面积公式求解即可；
（2）利用角平分线定理即可求出点P的坐标，进而得出OP；
（3）分三种情况利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，勾股定理即可得出点B的坐标．

解答 解：（1）如图1，
在Rt△MON中，ON=6cm，∠OMN=30°，
∴OM=6$\sqrt{3}$，MN=12，
设△OPM的边OM上的高为h，
∴S=S_△POM=$\frac{1}{2}$OM×h=3$\sqrt{3}$h=9$\sqrt{3}$，
∴h=3，
①当点P在ON上时，2t=3，
∴t=$\frac{3}{2}$，
②∵h=3，ON=6，
∴NP'=$\frac{1}{2}$MN=6，
∴NP+NP'=12，
∴2t=12，
∴t=6，
∴当S=9$\sqrt{3}$cm²时，点P运动的时间t为$\frac{3}{2}$秒或6秒；
（2）设P（0，n），
∴OP=n，PN=6-n，
∵MP平分∠OMN，
∴$\frac{OM}{MN}=\frac{OP}{PN}$，
∴$\frac{6\sqrt{3}}{12}=\frac{n}{6-n}$，
∴n=12$\sqrt{3}$-18；
∴OP=12$\sqrt{3}$-18，
（3）∵△EFB为等腰三角形，
∴①当BE=EF时，如图3，

∴∠EFB=30°，
∴α=∠BOM=180°-∠OMH-∠OFM=120°，
∴∠HOF=60°，
∴∠AOH=30°，
∵∠ABO=60°，
∴∠BHO=90°，
∴BH⊥OM，
在Rt△OBH中，OB=6$\sqrt{3}$，∠OBH=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB=3$\sqrt{3}$，BH=$\sqrt{3}$OH=9，
∴B（-3$\sqrt{3}$，9）；

②当BF=EF时，∴∠BEF=∠B=30°，
∴∠BFE=120°，
∴α=∠BOM=180°-∠OMH-∠OFM=30°，
∴AB∥OM，
如图4，
过点B作BH⊥OM，
由旋转得，OB=OM=6$\sqrt{3}$，
在Rt△OBH中，∠BOM=30°，
∴BM=3$\sqrt{3}$，OM=9，
∴B（9，3$\sqrt{3}$）；
③当BE=BF时，∴∠BEF=∠BFE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴α=∠BOM=180°-∠OMB-∠OFM=75°，
∴MF=OM=6$\sqrt{3}$，
如图2，

过点B作BH⊥OM．过点F作FG⊥OM，
∴FG∥BH，
∴$\frac{OF}{OB}=\frac{FG}{OB}$，
∴α=∠BOM=180°-∠OMN-∠OFM=75°，
在Rt△FGM中，∠OMN=30°，
∴FG=3$\sqrt{3}$，MG=9，
∴OG=OM-MG=6$\sqrt{3}$-9，
在Rt△OFG中，tan∠OFG=$\frac{OG}{FG}$=2-$\sqrt{3}$=tan∠OBH=$\frac{OH}{BH}$，
∴OH=（2-$\sqrt{3}$）BH，
在Rt△OBH中，OB=6$\sqrt{3}$，
∴根据勾股定理得，OH²+BH²=OB²，
∴[（2-$\sqrt{3}$）BH]²+BH²=108，
∴BH=3$\sqrt{6-3\sqrt{3}}$=3×$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}-3\sqrt{6}}{2}$，
∴OH=$\frac{27\sqrt{2}-15\sqrt{6}}{2}$，
∴B（$\frac{27\sqrt{2}-15\sqrt{6}}{2}$，$\frac{9\sqrt{2}-3\sqrt{6}}{2}$），

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的面积公式，角平分线定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点，计算量比较大．