Question

如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从C、A两点同时出发，以相同的速度作直线运动．已知点E沿射线CB运动，点F沿边BA的延长线运动，连结DF、DE、EF，EF与对角线AC所在的直线交于点M，DE交AC于点N．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）设CE=x，△AMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）随着点E在射线CB上运动，NA•MC的值是否会发生变化？若不变，请求出NA•MC的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）易得△ADF≌△CDE，从而得到∠FDA=∠EDC，根据∠FDA+∠ADE=∠ADE+∠EDC=90°，即可证得DE⊥DF；
（2）从E作EP垂直BC，交AC于P，证得△AFM≌△PEM后得到MF=ME，从而得到△MFA中AF上的高为BE的一半，利用三角形的面积表示方法表示出两个变量之间的关系即可；
（3）证得△MCD∽△DAN后即可得到：MC：DA=DC：NA，从而将比例式转化为等积式后即可得到：MC×NA=DA×DC=4×4=16，进而说明NA和MC的乘积不发生变化．

解答：解：（1）E、F分别从C、A两点同时出发，以相同的速度作直线运动，
∴CE=AF，
在△ADF和△CDE中，

AD=CD ∠DAF=∠DCE=90° AF=CE

∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠FDA=∠EDC，
∴∠FDA+∠ADE=∠ADE+∠EDC=90°，
∴DE⊥DF；

（2）当点E在BC上时，过点E作EP⊥BC，交AC于P
∵AF⊥BC，EP⊥BC，
∴AF∥EP，∠AFM=∠PEM，∠FAM=∠EPM
∵P在AC上，∠ECP=45°，
∴CE=PE，AF=PE，
在△AFM和△PEM中，

∠AFM=∠PEM ∠FAM=∠EPM AE=PE

∴△AFM≌△PEM（AAS），
∴MF=ME，
∴△MFA中AF上的高为BE的一半，
∴y=

1

2

x×

1

2

（4-x）=-

1

4

x²+x（0≤x≤4）；
同理，当点E在BC的延长线上时，y=

1

4

x²-x（x＞4）；

（3）由全等可得DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=45°
∵M为EF中点，
∴DM⊥EF．
∴∠MDE=45°
∵∠CMD为△AMD的外角，
∴∠CMD=∠MDA+∠DAC=∠MDA+45°，
∠ADN=∠MDA+∠MDE=∠MDA+45°，
∴∠CMD=∠ADN
∠DCM=∠DAN=45°
∴△MCD∽△DAN
∴MC：DA=DC：NA
∴MC×NA=DA×DC=4×4=16
∴NA和MC的乘积不发生变化．

点评：本题考查了四边形的综合知识，题目中涉及到了相似三角形和全等三角形的知识，难度不是很大，但涉及的知识点比较多．