Question

【题目】小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：

（习题回顾）已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；

（变式思考）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；

（探究廷伸）如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】【习题回顾】证明见解析；【变式思考】∠CEF=∠CFE，理由见解析；【探究思考】∠M+∠CFE=90°，理由见解析.

【解析】

根据三角形的外角的性质证明；

【变式思考】

根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；

【探究廷伸】

同（1）、（2）的方法相同．

∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，∴∠B=∠ACD．

∵AE是角平分线，∴∠CAF=∠DAF．

∵∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B，∴∠CEF=∠CFE；

　变式思考：∠CEF=∠CFE．证明如下：

∵AF为∠BAG的角平分线，∴∠GAF=∠DAF．

∵CD为AB边上的高，∴∠ACB=90°，∴∠ADF=∠ACE=90°．

又∵∠CAE=∠GAF，∴∠CEF=∠CFE；

　探究思考：∠M+∠CFE=90°．证明如下：

∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，∴∠EAN=90°．

又∵∠GAN=∠CAM，∴∠MAE=90°，∴∠M+∠CEF=90°．

∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∴∠M+∠CFE=90°．