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【题目】已知ABC中,AC=BC,ACB=90゜,点P在射线AC上,连接PB,将线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN,AN交直线BC于M.

(1)如图1.若点P与点C重合,则= = (直接写出结果):

(2)如图2,若点P在线段AC上,求证:AP=2MC;

(3)如图3,若点P在线段AC的延长线上,完成图形,并直接写出=

【答案】(1)1,(2)见解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)先求出C=CBN,再利用“角角边”证明ACMNBM全等,根据全等三角形对应边相等可得AM=MN,MC=MB,再求出AP=AC=2MC,然后求解即可;

(2)过点N作NEBC于E,根据同角的余角相等求出PBC=BNE,然后利用“角角边”证明PBCBNE全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=PC,NE=BC,然后求出AP=CE,AC=NE,再利用“角角边”证明ACMNEM全等根据全等三角形对应边相等可得MC=ME,整理即可得证;

(3)过点N作NEBC交CB的延长线于E,然后与(2)的求解方法相同.

(1)解:线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN,

∴∠CBN=90°,BC=BN,

∴∠C=CBN,AC=BN,

ACMNBM中,

∴△ACM≌△NBM(AAS),

AM=MN,MC=MB,

AP=AC=BC=MC+MB=2MC

=1,=

(2)证明:如图2,过点N作NEBC于E,

∴∠BNE+CBN=90°

线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN,

∴∠PBC+CBN=90°

∴∠PBC=BNE

PBCBNE中,

∴△PBC≌△BNE(AAS),

BE=PC,NE=BC,

AP=AC﹣PC=BC﹣BE=CE,AC=NE,

ACMNEM中,

∴△ACM≌△NEM(AAS),

MC=ME

CE=2MC

AP=2MC

(3)解:如图3,过点N作NEBC交CB的延长线于E,过点N作NEBC于E,

∴∠BNE+CBN=90°

线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN,

∴∠PBC+CBN=90°

∴∠PBC=BNE

PBCBNE中,

∴△PBC≌△BNE(AAS),

BE=PC,NE=BC,

AP=AC﹣PC=BC﹣BE=CE,AC=NE,

ACMNEM中,

∴△ACM≌△NEM(AAS),

MC=ME

AP=AC+PC

CE=BC+BE=2MC,

AP=CE=2MC

=

故答案为:(1)1,;(3)

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