Question

14．已知关于x的一元二次方程x²+2mx+3m-2=0有两个相等的实数根x₁、x₂，则x₁（x₁+x₂）+x₂²的最小值为3．

Answer 1

分析 由题意可得△=b²-4ac=0，然后计算等式的最小值即可得到结论．

解答 解：由题意知，方程x²+2mx+m²+3m-2=0有两个实数根，
则△=b²-4ac=4m²-4（3m-2）=4m²-12m+8=0，
∴m₁=1，m₂=2，
∵x₁（x₂+x₁）+x₂²
=（x₂+x₁）²-x₁x₂
=（-2m）²-（3m-2）
=4m²-3m+2
∴当m=1时，原式=3，
当m=2时，原式=12，
∴x₁（x₁+x₂）+x₂²的最小值为3，
故答案为：3．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．
总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．