Question

19．已知l₁：y=-x+11
（1）将直线l₁向下平移3个单位长度，得到直线l₂，直接写出直线l₂的解析式y=-x+8
（2）无论a为什么实数，a点Q（a+1，2a-2）都在直线l₃上，如果直线l₂与直线l₃相交，求它们的交点P的坐标；
（3）设直线l₂与y轴交于点A，过点O和点A分别向直线y=kx+4-4k（k为常数，且k≠0）作垂线，垂足分别为点M，N，试探究线段OM、AN、MN三者之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由一次函数的平移规律即可得出答案；
（2）设x=a+1，y=2a-2，消去其中的字母a即可得到l₃的解析式，然后将两个函数的解析式组成方程组求解即可；
（3）过点P作PB⊥y轴与点B，首先可求得点A和点B的坐标，然后可判定三角形AOP为直角三角形，然后根据直线y=kx+4-4k（k≠0）经过△OPA的外部合外部分别证明△POM≌△APN，从而可得出问题的答案．

解答 解：（1）y=-x+8
（2）∵无论a取什么实数，点Q（a+1，2a-2）都在直线l₃上，
∴不妨取a=0得Q₁（1，-2），取a=1得；Q₂（2，0）
则点Q₁，Q₂都在直线l₃上，
设直线l₃的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$
∴直线l₃的解析式为y=2x-4．
将y=2x-4与y=-x+8联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（4，4）．
（3）过点P作PB⊥y轴与点B．

∵直线l₂与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，8）
∵点P的坐标为（4，4），
∴OB=PB=4
∴△OPB，△PBA均为等腰三角形，且∠POA=∠PAO=45°，
∴△OPA为等腰直角三角形
又∵直线y=kx+4-4k=k（x-4）+4，
∴直线y=kx+4-4k=k（x-4）+4经过点P．
①当直线y=kx+4-4k（k≠0）经过△OPA的外部时，（如图1）

∵△OPA为等腰直角三角形
∴OP=PA，∠OPA=90°
∴∠OPM+∠POM=90°
∵∠OPM+∠POM=90°
∴∠POM=∠APN
∵AN、OM都垂直于直线y=kx+4-4k
∴∠OMP=∠PNA=90°
在△POM和△APN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POM=∠APN}\\{∠OMP=∠PNA}\\{OP=PA}\end{array}\right.$，
∴△POM≌△APN，
∴OM=PN，PM=AN，
∴OM+AN=MN．
②当直线y=kx+4-4k（k≠0）经过△OPA的内部时，（如图2，图3）

同理可证△POM≌△APN，
图2中OM-AN=MN，
图3中，AN-OM=MN，
∴|OM-AN|=MN
综上所述：OM、AN、MN三者之间的关系为OM+AN=MN或|OM-AN|=MN．

点评 本题主要考查的是一次函数和三角形的综合应用，解答本题主要应用了三角形全等、等腰三角形、直角三角形和一次函数的相关知识．