【题目】如图,是的直径,,为上一动点,过点的直线交于两点,且,于点,于点,当点在上运动时,设, (当的值为0或3时,的值为2),探究函数随自变量的变化而变化的规律.
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组对应值,如下表:
0 | 0. 40 | 0. 55 | 1. 00 | 1. 80 | 2. 29 | 2. 61 | 3 | |
2 | 3. 68 | 3. 84 | 3. 65 | 3. 13 | 2. 70 | 2 |
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:点与点重合时,长度约为________(结果保留一位小数).
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)3.5.
【解析】
(1)先求出OF=1,利用勾股定理求出DF,进而求出∠ODF=30°,进而判断出DE过点O即可得出结论;
(2)利用画函数图象的方法即可得出结论;
(3)先作出图形,求出OD=2,再利用锐角三角函数求出DM,即可得出DE=2即可得出结论.
解:(1) 如图1,
连接OD,当x=1时,AF=1,
∵OA=2,
∴OF=OA-AF=1,
∵DF⊥AB,
∴∠DFO=90°,
在Rt△OFD中,OD=2,OF=1,根据勾股定理得,DF==,
∴tan∠ODF===,
∴∠ODF=30°,
在Rt△CFD中,∠ACD=60°,
∴∠CDF=30°,
∴∠CDF=∠ODF,
∴DE过点O,
∴DE是⊙O的直径,
∴DE=2OD=4,
∴x=1时,y=4;
0 | 0.40 | 0.55 | 1.00 | 1.80 | 2.29 | 2.61 | 3 | |
2 | 3.68 | 3.84 | 4.00 | 3.65 | 3.13 | 2.70 | 2 |
(2)描点,连线,得出函数的图象:
(3)如图2,
∵点F和点O重合,
∴OD=OA=OE=2,
过点O作OM⊥DE于M,
∴DE=2DM,
∵∠ACD=60°,
∴∠ODE=90°-∠ACD=30°,
在Rt△OMD中,cos∠ODE=,
∴DM=ODcos∠ODE=2×cos30°=,
∴DE=2DM=2≈3.5cm.
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【题目】在“文化宜昌全民阅读”活动中,某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量(单位:本)进行了调查,2012年全校有1000名学生,2013年全校学生人数比2012年增加10%,2014年全校学生人数比2013年增加100人.
(1)求2014年全校学生人数;
(2)2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本,阅读总量比2012年增加1700本(注:阅读总量=人均阅读量×人数)
①求2012年全校学生人均阅读量;
②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍,如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a,2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a,那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%,求a的值.
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【题目】如图,二次函数y= ax2 + bx +c经过点A(-1,0), B(3,0), C(0,-3).
(1)求该二次函数的解析式.
(2)利用图象的特点填空.
①当x= ___ 时方程ax2 + bx+c=-3.
当x= ___时方程ax2 +bx+c=-4.
②不等式ax2 + bx + c> 0的解集为
不等式-4<ax2+bx+c<0的解集为.
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【题目】我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶,其进价为每千克 240 元,按每千克 400 元出售,平均每周可售出 200 千克,后来经过市场调查发现,单价每降低 10 元,则平均每周的销售量可增加 40 千克,若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元,请回答:
(1)每千克茶叶应降价多少元?
(2)在平均每周获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的 几折出售?
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【题目】某商店销售一种商品,童威经市场调查发现:该商品的周销售量(件)是售价(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润(元)的三组对应值如下表:
售价(元/件) | 50 | 60 | 80 |
周销售量(件) | 100 | 80 | 40 |
周销售利润(元) | 1000 | 1600 | 1600 |
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)
(1)①求关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)
②该商品进价是_________元/件;当售价是________元/件时,周销售利润最大,最大利润是__________元
(2)由于某种原因,该商品进价提高了元/件,物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求的值
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E为对角线BD上的一点,点F在AD的延长线上,且∠CEF=90°,EF交CD于H,分别过点F,点C作EC和EF的平行线,交于点G.
(1)证明:AE=CE;
(2)证明:四边形ECGF是正方形;
(3)若正方形ABCD的边长为,且BE=BC,求此时ΔEDF的面积.
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【题目】二次函数(,,为常数且)中的与的部分对应值如下表:
-1 | 0 | 1 | 3 | |
-1 | 3 | 5 | 3 |
给出了结论:
(1)二次函数有最大值,最大值为5;(2);(3)时,的值随值的增大而减小;(4)3是方程的一个根;(5)当时,.则其中正确结论的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
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【题目】对于二次函数和一次函数,我们把 称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线E.现有点A(1,0)和抛物线E上的点B(2,n),请完成下列任务:
(尝试)
(1)当t=2时,抛物线的顶点坐标为 .
(2)判断点A是否在抛物线E上;
(3)求n的值.
(发现)通过(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,定点的坐标 .
(应用)二次函数是二次函数和一次函数 的一个“再生二次函数”吗?如果是,求出t的值;如果不是,说明理由.
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