Question

【题目】如图，在等边和等边中，过作交延长线于点．

（1）如图，求证：四边形为菱形；

（2）如图，过作交于点，连接，不添加任何辅助线，直接写出与相等的所有角（不包括）．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）与相等的角有∠ABE，∠CBD，∠ACG，∠DEG．

【解析】

（1）由等边三角形的性质，得到AB=BC=AC，BE=BD，∠ABC=∠BAC=∠EBD=60°，先证明△ABE≌△CBD，则∠BEF=∠BDA，然后证明△FEB≌△ADB，则BF=BA=AC，则四边形AFBC是平行四边形，由BC=AC，即可得到答案；

（2）由三角形的内角和定理，得到∠ABE=∠ADE，由等量代换，得到∠CBD=∠ABE=∠ADE，由平行线的性质得∠ACG=∠ADE，由ASA证明△ABE≌△ACG，则CG=BE=DE，得到四边形CDEG是平行四边形，则∠DEG=∠ACG=∠ADE，即可得到答案．

解：（1）如图：

在等边和等边中，

∴AB=BC=AC，BE=BD，∠ABC=∠BAC=∠EBD=60°，

∴∠ABE+∠ABD=∠ABD+∠CBD=60°，

∴∠ABE=∠CBD，

∴△ABE≌△CBD（SAS），

∴∠AEB=∠CDB，

∴∠BEF=∠BDA，

∵BF∥AC，

∴∠ABF=∠BAC=60°，

∵∠FBE+∠ABE=∠ABE+ABD=60°，

∴∠FBE=∠ABD，

∵BE=BD，

∴△FEB≌△ADB，

∴BF=BA=AC，

∴四边形AFBC是平行四边形，

∵BC=AC，

∴四边形AFBC是菱形；

（2）如图：

∵∠BED=∠BAC=60°，∠BHE=∠DHA，

∴∠ABE=∠ADE；

由（1）知，∠CBD=∠ABE，

∴∠CBD=∠ADE；

∵CG∥DE，

∴∠ACG=∠ADE；

∴∠ACG=∠ABE，

∵AF∥BC，

∴∠BAE=∠ABC=∠BAC=60°，

∵AB=AC，

∴△ABE≌△ACG，

∴CG=BE=DE，

∵CG∥DE，

∴四边形CDEG是平行四边形，

∴∠DEG=∠ACG=∠ADE；

∴与相等的角有：∠ABE，∠CBD，∠ACG，∠DEG．