Question

【题目】（1）问题发现：如图1，在△ABC中和△DCE中，，，，点D是BC的垂线AF上任意一点．填空：

①的值为 ；

②∠ABE的度数为 ．

（2）类比探究：如图2，在△ABC中和△DCE中，，，点D是BC的垂线AF上任意一点．请判断的值及∠ABE的度数，并说明理由；

（3） 拓展延伸：在（2）的条件下，若，，请直接写出BE的长．

Answer 1

【答案】（1）①1；②90°；（2）(2) ,，理由见解析；（3）或

【解析】

（1）①根据已知条件可知为等边三角形，根据等边三角形的性质可证明，即可得出答案；②根据，得出，因为，继而推出；

（2）利用已知条件证明△ACD∽△BCE，即可推出,；

（3）当点E在AF右边时，如图2所示，由已知条件可得出，在中运用勾股定理可求出AD的值，再运用（2）中结论即可得出BE的值；当点E在AF左边时，如图3所示，可证明，，再运用（2）中结论即可得出BE的值．

解：（1）①∵，，

∴为等边三角形

∴

∴

∴

∴的值为1；

故答案为：1；

②∵

∴

∵

∴

∴

∵

∴

故答案为：90°．

（2） ,.理由如下：

在Rt△ABC中，，.

∴.

同理：.

∴.

又.

∴.

∴△ACD∽△BCE.

∴,.

∴.

（3）当点E在AF右边时，如图2所示：

∵ ，，，

∴，

∴

∵

∴；

当点E在AF左边时，如图3所示

同理，可得，

∵

∴

∴

∴

∵∵

∴

综上所述，BE的值为或.