Question

【题目】如图，在矩形中，，，点、分别在边和上，沿折叠四边形，使点、分别落在、处，得四边形，点在上，过点作于点，连接，则下列结论：①；②；

③；④若点是的中点，则，其中，正确结论的序号是_______.（把所有正确结论的序号都在填在横线上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

由折叠可知∠MNB1=∠BNM，MN⊥BB1，再根据同角的余角相等的性质和等量关系即可判定①正确；根据AA可证△MEN∽△BCB1，可判定②正确；根据相似三角形的性质和等量关系可得，为定值，可判定③正确；根据相似三角形的性质和勾股定理可得AM=BE=BN-NE=，可判定④不正确；从而求解．

解：由折叠可知∠MNB1=∠BNM，MN⊥BB1，
∴∠BNM+∠B1BN=90°，
∵∠ABB1+∠B1BN=90°，
∴∠BNM=∠ABB1，
∴∠MNB1=∠ABB1，故①正确；
∵ME⊥BC，
∴∠MNE+∠NME=90°，
由折叠的性质可得MN⊥BB1，
∴∠MNE+∠B1BN=90°，
∴∠NME=∠BB1N，
∴△MEN∽△BCB1，
故②正确；
由②可知，

∵ME=AB=2，BC=4，

∴，为定值，故③正确；
∵△MEN∽△BCB1，

∴，

∴NE=B1C，

∵点是的中点，
∴B1C=DC，

则NE=DC=×2=，

设BN=x，则NC=4-x，B1N=x，
在Rt△B1NC中，由勾股定理可得x2=（4-x）2+12，
解得x=，

∴AM=BE=BN-NE=，故④不正确．
故答案为：①②③．