Question

【题目】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：AP=CQ．理由如下：

∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，

∴△BPQ为等边三角形，

∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，

∴∠CBQ=∠ABP，

在△ABP和△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴AP=CQ

（2）解：∵等边△ABC和等边△BPQ中，

PB=PQ=4，PA=QC=3，

∵PQ2+CQ2=PC2，

∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）

【解析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的逆定理的相关知识，掌握如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．