Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.

(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；

(2)点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点E，使∠ABE=∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-2x2-4x+6;(2)M(-1，)；（3）E1（-2，6），E2（-4，-10） .

【解析】（1）根据抛物线过A、B两点，待定系数法求解可得；；

（2）由（1）知抛物线对称轴为直线x=-1，设H为AC的中点，求出直线AC的垂直平分线的解析式即可得解；

（3）①过点A作交y轴于点F，交CB的延长线于点D，证明ΔAOF∽ΔCOA，求得，分别求出直线AF、BC的解析式的交点，求出，

根据∠ABE=∠ACB求出∠ABE=2，易求E点坐标.

（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx+6得，

，解得

∴y=-2x2-4x+6,

令x=0，则y=6,

∴C(0，6)；

（2）=-2（x+1）2+8,

∴抛物线的对称轴为直线x=-1.

设H为线段AC的中点，故H（，3）.

设直线AC的解析式为：y=kx+m，则有

，解得，，

∴y=2x+6

设过H点与AC垂直的直线解析式为：，

∴

∴b=

∴

∴当x=-1时，y=

∴M（-1，）

（3）①过点A作交y轴于点F，交CB的延长线于点D

∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90°

∴∠DAO=∠ACO

∵∠ACO=∠ACO

∴ΔAOF∽ΔCOA

∴

∴

∵OA=3,OC=6

∴

∴

直线AF的解析式为：

直线BC的解析式为：

∴，解得

∴

∴

∴∠ACB=

∵∠ABE=∠ACB

∴∠ABE=2

过点A作轴，连接BM交抛物线于点E

∵AB=4，∠ABE=2

∴AM=8

∴M（-3，8）

直线BM的解析式为：

∴，解得

∴y=6

∴E（-2，6）

②当点E在x轴下方时，过点E作，连接BE，设点E

∴∠ABE=2

∴m=-4或m=1（舍去）

可得E（-4，-10）

综上所述E1（-2，6），E2（-4，-10）