Question

【题目】如图1，已知长方形ABCD，AB=CD， BC=AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为y，y和x的关系如图2所示.

（1）AB=________cm, BC=______cm;

（2）写出时,y与x之间的关系式；

（3）当y=12时，求x的值；

（4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小，若存在，求出此时∠APD的度数，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=6cm，BC=12cm；（2）y=12x；（3）x=1或11；（4）存在，此时∠APD =90°

【解析】（1）根据函数图象可得从A到B共用了3秒，从B到C用了6秒，速度为2cm/s,则可计算出AB、BC的长度；

（2）由三角形面积公式可得: ，△APD的面积=和AP＝2x可得出y与x之间的关系式；

（3）分情况讨论，当点P在AB和CD上时，求得x的值即可;

（4）作A关于直线BC的对称点A′，连接A′D与BC交于点P，根据两边之和大于第三边可知A′D最小，即△APD的周长最小，求出∠APD=∠A′+∠BAP=90°．

（1）∵由函数图象可得：点P从A到B共用了3秒，从B到C用了6秒，点P的速度为2cm/s

∴AB=6cm, BC=12cm;

（2）如图所示：

当时,点P在线段AB上，AP＝2x,

∴S△ADP=.

（3）如图所示：

分两种情况：
①当P在AB上时，如图所示，当y=3时，3=3x，x=1，

②当P在CD上时，如图所示，则AB+BC+CP=t，

∴PD=3+3+6-t=12-t，
∴y=PDAD=×6×（12-t）=3（12-t），
当y=3时，3=3（12-t），
t=11，
综上所述，当y=3时，x的值是1秒或11秒；

（4）存在，如图所示，延长AB至A′，使AB=A′B，连接A′D，交BC于P，连接AP，
此时△APD的周长最小，
∴AA′=AB+BA′=3+3=6，
∴AD=AA′=6，
∴△A′AD是等腰直角三角形，
∴∠A′=45°，
∵∠ABC=90°，
∴BP是AA′的中垂线，
∴AP=PA′，
∴∠A′=∠BAP=45°，
∴∠APD=∠A′+∠BAP=90°．