Question

14．如图1，某校规划在一块长AD=60米，宽AB=40米的长方形ABCD空地上修建四条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另两条与AD平行，其余部分种花草．
（1）要使草坪的面积为1500米²，求此时通道的宽应设计成多少米；
（2）已知某园林公司修建通道，草坪的造价分别为y₁（元）、y₂（元）与修建面积x（米²）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，求通道宽为多少时，修建的通道和草坪的总造价最低，最低造价为多少元．

Answer 1

分析 （1）根据矩形面积公式列出列方程即可得到结论；
（2）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写出自变量的取值范围即可．

解答 （1）设通道的宽应设计成a米，
根据题意得，（60-2a）（40-2a）=1500，
∴a₁=5，a₂=45（不合题意，舍去），
答：通道的宽为5米；

（2）设修建的道路和花圃的总造价为W，通道宽为a；
x_花圃=（40-2a）（60-2a）=4a²-200a+2400；
x_通道=60×40-（40-2a）（60-2a）=-4a²+200a，
由已知得y₁=40（-4a²+200a），（2≤a≤10）
y₂=$\left\{\begin{array}{l}{60x（0≤x＜800）}\\{35x+20000（x≥800）}\end{array}\right.$
则W=y₁+y₂=$\left\{\begin{array}{l}{80{a}^{2}-4000a+144000（a=10）}\\{-20{a}^{2}+1000a+104000（2≤a＜10）}\end{array}\right.$，
当a=2时，y有最小值，最小值为105920；
所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为105920元．

点评 本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．