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【题目】如图,ABC的外接圆,AC是直径,过点OODAB于点D,延长DO于点P,过点PPEAC于点E,作射线DEBC的延长线于F点,连接PF

(1)、若∠POC=60°AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π

(2)、求证:OD=OE

(3)、求证:PF的切线。

【答案】(1)(2)、证明过程见解析;(3)、证明过程见解析.

【解析】试题分析:(1)、根据直径得出半径的长度,然后根据弧长的计算公式进行求解;(2)、根据垂直得出∠ADO=∠PEO,对顶角相等,半径相等得出△ADO△PEO全等,从而得出OD=OE(3)、连接PC,根据直径得出∠ABC=90°,从而说明PD∥BC,根据已知条件结合(2)得出△PCE△PFC全等,从而说明∠OPF=90°,得出切线.

试题解析:(1)、由直径AC=12得半径OC=6 劣弧PC的长为

(2)∵ OD⊥ABPE⊥AC ∴ ∠ADO=∠PEO=90°

△ADO△PEO中,∠ADO=∠PEO∠AOD=∠POEOA=OP ∴ △ADO≌△PEO ∴ OD=OE

(3)、连接PC,由AC是直径知BC⊥AB,又OD⊥AB∴ PD∥BF

∴ ∠OPC=∠PCF∠ODE=∠CFE 由(2)知OD=OE,则∠ODE=∠OED,又∠OED=∠FEC

∴ ∠FEC=∠CFE ∴ EC=FC OP=OC∠OPC=∠OCE

∴ ∠PCE =∠PCF △PCE△PFC中, EC=FC ∠PCE=∠PCF PC=PC

∴ △PCE≌△PFC ∴ ∠PFC =∠PEC=90° ∠PDB=∠B=90°可知∠OPF=90°OP⊥PF

PF的切线

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