Question

19．如图．在△ABC中．以AC为边在△ABC外部作等腰△ACD．使AC=AD．且∠DAC=2∠ABC，连接BD．作AH⊥BC于点H．若AH=$\frac{3}{2}$，BC=4，则BD=5．

Answer 1

分析 如图，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，根据垂直的定义得到∠AHC=90°．由平行线的性质得到∠EBC=90°．由线段垂直平分线的性质得到BK=AH．推出四边形AKBH为矩形，得到AK⊥BE，根据等腰三角形的性质得到AE=AB，∠EAB=2∠KAB，通过△EAC≌△BAD，得到BD=CE，根据勾股定理得到CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2AH）^{2}+B{C}^{2}}$=5，于是得到结论．

解答 解：如图，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为矩形，
∴AK⊥BE，
∴AE=AB，∠EAB=2∠KAB，
∵∠DAC=2∠ABC，∠KAB=∠ABC，
∴∠EAB=∠DAC，
∴∠EAC=∠BAD，
在△EAC与△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE，
∵CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2AH）^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴BD=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．