Question

7．如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠A=30°，∠B=50°，求∠ECD的度数；
（2）试用含有∠A、∠B的代数式表示∠ECD（不必证明）

Answer 1

分析 （1）利用高的定义和互余得到∠BCD=90°-∠B，再根据角平分线定义得到∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，接着根据三角形内角和定理得到∠ACB=180°-∠A-∠B，于是得到∠BCE=90°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠B），然后计算∠BCE-∠BCD得到∠ECD=$\frac{1}{2}$（∠B-∠A），再把∠A=30°，∠B=50°代入计算即可；
（2）直接由（1）得到结论．

解答 解：（1）∵CD为高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B，
∵CE为角平分线，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
而∠ACB=180°-∠A-∠B，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$（180°-∠A-∠B）=90°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠B），
∴∠ECD=∠BCE-∠BCD
=90°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）-（90°-∠B）
=$\frac{1}{2}$（∠B-∠A），
当∠A=30°，∠B=50°时，∠ECD=$\frac{1}{2}$×（50°-30°）=10°；
（2）由（1）得∠ECD=$\frac{1}{2}$（∠B-∠A）．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．本题的关键是用∠B表示∠BCD，用∠A和∠B表示∠BCE．