Question

17．如图，BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高线，点P在BD的延长线上，BP=AC；点Q在CE上，CQ=BA，猜想AP和AQ的关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 根据垂直的定义得到∠AEC=90，∠ADB=90，通过△ABP≌△QCA，根据全等三角形的性质得到AP=AQ，由于∠P+∠PAD=90°，∠P=∠CAQ，于是得到∠QAC+∠PAD=90°，故可得出结论．

解答 解：猜想：AP⊥AQ且AP=AQ；
证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∴∠1+∠BAC=90°，∠2+∠BAC=90°，
∴∠1=∠2．
在△ABP与△QCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CQ}\\{∠1=∠2}\\{BP=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP=AQ，∠P=∠QAC，
又∵∠P+∠PAD=90°，
∴∠QAC+∠PAD=90°，即AP⊥AQ，
∴AP⊥AQ且AP=AQ．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的SAS、ASA及SSS定理是解答此题的关键．