Question

8．如图，已知△OAB的顶点坐标分别是0（0，0），A（1，0），B（1，2）．将△OAB绕点O按逆时针方向旋转180°得到△OCD．
（1）写出C，D两点的坐标；
（2）连接BC交y轴于点P，求过A、C、P三点的抛物线的解析式；
（3）在线段OD内是否存在点Q，使得△QPC的面积等于$\frac{3}{4}$？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据中心对称的性质，可得C与A关于原点对称，D与B关于原点对称，进而可得C、D两点的坐标；
（2）先求出直线BC的解析式为y=x+1，得到BC与y轴交点P的坐标为（0，1）．再设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A、C、P三点的坐标代入可得方程组，解方程组即可求出解析式；
（3）先求出直线OD的解析式为y=2x，则可设点Q的坐标为（m，2m），那么-1＜m＜0．过Q作y轴的垂线，交y轴于H，交CD于G，根据S_△QPC=S_△BDC-S_△QPB-S_△QDC=$\frac{3}{4}$，列出方程$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×1×（1-m）-$\frac{1}{2}$×2×（m+1）=$\frac{3}{4}$，解方程求出m的值，进而得到点Q的坐标．

解答 解：（1）∵将△OAB绕点O按逆时针方向旋转180°得到△OCD，
∴C与A关于原点对称，D与B关于原点对称，
∵A（1，0），B（1，2），
∴C（-1，0），D（-1，-2）；

（2）∵B（1，2），C（-1，0），
∴直线BC的解析式为y=x+1，
∴BC与y轴交点P的坐标为（0，1）．
设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A，C，P在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，
即过A、C、P三点的抛物线的解析式为y=-x²+1；

（3）∵D（-1，-2），
∴直线OD的解析式为y=2x，
设点Q的坐标为（m，2m），则-1＜m＜0．
过Q作y轴的垂线，交y轴于H，交CD于G，
则S_△QPC=S_△BDC-S_△QPB-S_△QDC=$\frac{3}{4}$，
$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×1×（1-m）-$\frac{1}{2}$×2×（m+1）=$\frac{3}{4}$，
解得m=-$\frac{1}{2}$，
∴点Q的坐标为（-$\frac{1}{2}$，-1）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，中心对称的性质，三角形的面积求法，难度适中．利用数形结合及方程思想是解题的关键．