Question

8．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，将△ADE对折至△AFE，当BF⊥CF时，求折痕AE的长．

Answer 1

分析 根据折叠的性质得到AF=AD，∠AFE=∠D=90°．DE=EF，由正方形的性质推出Rt△ABG≌Rt△AFG，得到BG=FG，根据直角三角形的性质得到BG=FG=CG=$\frac{1}{2}$BC=3，设DE=EF=x，则CE=6-x，GE=3+x，由勾股定理列方程求得DE=2，即可得到结论．

解答 解：连接BF，∵将△ADE对折至△AFE，
∴AF=AD，∠AFE=∠D=90°．DE=EF，
∵正方形ABCD中，
∴AB=AD，
∴AF=AB，
在Rt△ABG与Rt△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，
∵BF⊥CF，
∴BG=FG=CG=$\frac{1}{2}$BC=3，
设DE=EF=x，则CE=6-x，GE=3+x，
∴CG²+CE²=GE²，
即：3²+（6-x）²=（3+x）²，
解得：x=2，
∴DE=2，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 此题主要考查了翻折变换-折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．