Question

在线段AB中找出点C，使其满足

AC

AB

=

BC

AC

，则C为线段AB的黄金分割点．若使AB为长方形的长，AC为长方形的宽，则其为黄金矩形．

（1）长方形ABDC为黄金矩形，面积为15，求AB和AC的长度；
（2）长方形ABEF为黄金矩形（长方形ABDC就是图1的长方形），求AE长；
（3）长方形BFGH为黄金矩形（长方形ABEF就是图2的长方形），求GF长；
（4）若继续按下面的方法画下去，可以得到第四个、第五个、第六个…求第十个这样的黄金矩形的长．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：

分析：（1）由黄金分割的定义设AB=x，则AC=

5 -1

2

x，根据长方形ABDC的面积为15列出方程，解方程即可；
（2）由

AB

AE

=

5 -1

2

及AB=

30+30 5

2

，即可求出AE的长；
（3）由

BF

GF

=

5 -1

2

及BF=AE=

( 5 +1) 30+30 5

4

即可求出GF的长；
（4）根据前面的方法，即可求出第四个、第五个、第六个…第十个这样的黄金矩形的长．

解答：解：（1）如图1，设AB=x，则AC=

5 -1

2

x，
x•

5 -1

2

x=15，
解得x=±

30+30 5

2

（负值舍去），
所以AB=

30+30 5

2

，AC=

5 -1

2

×

30+30 5

2

=

( 5 -1) 30+30 5

4

；

（2）如图2，∵

AB

AE

=

5 -1

2

，AB=

30+30 5

2

，
∴AE=

2AB

5 -1

=

2

5 -1

×

30+30 5

2

=

( 5 +1) 30+30 5

4

；

（3）如图3，∵

BF

GF

=

5 -1

2

，BF=AE=

( 5 +1) 30+30 5

4

，
∴GF=

2

5 -1

BF=

2

5 -1

×

( 5 +1) 30+30 5

4

=

(3+ 5 ) 30+30 5

4

；

（4）第四个黄金矩形的长为（

2

5 -1

）³×

30+30 5

2

，
第五个黄金矩形的长为（

2

5 -1

）⁴×

30+30 5

2

，
第六个黄金矩形的长为（

2

5 -1

）⁵×

30+30 5

2

，
…，
第十个黄金矩形的长为（

2

5 -1

）⁹×

30+30 5

2

．

点评：本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（

5 -1

2

）叫做黄金比．