Question

15．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，2），与x轴交点的横坐标分别为为x₁，x₂，其中-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b²+8a＞4ac，④a＞-1，其中结论正确的有（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①：根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，可得x=2时，y＜0，所以4a+2b+c＜0，据此判断即可．
②：根据抛物线的对称轴小于1，可得$-\frac{b}{2a}＜1$，所以2a+b＜0，据此判断即可．
③：根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的最大值大于2，可得$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$＞2，所以b²+8a＞4ac，据此判断即可．
④：根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，可得当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2，当x=-1时，a-b+c＜0，据此判断出a＜-1即可．

解答 解：∵x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
∴结论①正确；
∵$-\frac{b}{2a}＜1$，
∴2a+b＜0，
∴结论②正确；
∵$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$＞2，
∴b²+8a＞4ac，
∴结论③正确；
当x=2时，y=4a+2b+c＜0…（1），
当x=1时，a+b+c=2…（2），
当x=-1时，a-b+c＜0…（3），
由（2），可得
2a+2b+2c=4…（4），
由（2）（3），可得
2a+2c＜2…（5），
由（1）（4），可得
2a-c＜-4，
∴4a-2c＜-8…（6），
由（5）（6），可得
6a＜-6，
∵a＜-1，
∴结论④错误．
∴正确的结论有3个：①②③．
故选：C．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．