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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF.
(1)求证:AD=AF;
(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.

【答案】
(1)证明:∵AF∥BC,

∴∠EAF=∠EDB,

∵E是AD的中点,

∴AE=DE,

在△AEF和△DEB中,

∴△AEF≌△DEB(ASA),

∴AF=BD,

∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,

∴AD=BD=DC= BC,

∴AD=AF


(2)解:四边形ADCF是正方形.

∵AF=BD=DC,AF∥BC,

∴四边形ADCF是平行四边形,

∵AB=AC,AD是中线,

∴AD⊥BC,

∵AD=AF,

∴四边形ADCF是正方形.


【解析】(1)由E是AD的中点,AF∥BC,易证得△AEF≌△DEB,即可得AF=BD,又由在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,即可证得AD=BD=CD= BC,即可证得:AD=AF;(2)由AF=BD=DC,AF∥BC,可证得:四边形ADCF是平行四边形,又由AB=AC,根据三线合一的性质,可得AD⊥BC,AD=DC,继而可得四边形ADCF是正方形.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直角三角形斜边上的中线的相关知识,掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,以及对正方形的判定方法的理解,了解先判定一个四边形是矩形,再判定出有一组邻边相等;先判定一个四边形是菱形,再判定出有一个角是直角.

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