Question

3．如图，点P是反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）图象上的一点，矩形OAPB的顶点A，B分别在x轴与y轴上，且边PB，PA分别交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象于E，F两点，直线EF交x轴于C点，交y轴于D点，连结OE，OF．现给出下列结论：①四边形OEPF的面积为m-k；②DE=CF．则（　　）

• A． ①正确，②正确
• B． ①正确，②错误
• C． ①错误，②正确
• D． ①错误，②错误

Answer 1

分析 根据反比例函数k的几何意义可对①解析判断；作EH⊥x轴于H，FG⊥y轴于G，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征设F（a，$\frac{k}{a}$），则P（a，$\frac{m}{a}$），E（$\frac{ak}{m}$，$\frac{m}{a}$），再证明△DBE∽△DGF，利用相似比得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{BE}{GF}$=$\frac{k}{m}$，同样方法$\frac{CF}{CE}$=$\frac{AF}{EH}$=$\frac{k}{m}$，则$\frac{DE}{DF}$=$\frac{CF}{CE}$，然后利用比例性质可得DE=CF，则可对②进行判断．

解答 解：∵S_△OBE=S_△OFA=$\frac{1}{2}$k，S_矩形PAOB=m，
∴四边形OEPF的面积=S_矩形PAOB-S_△OBE-S_△OFA=m-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k=m-k，所以①正确；
作EH⊥x轴于H，FG⊥y轴于G，如图，
设F（a，$\frac{k}{a}$），则P（a，$\frac{m}{a}$），E（$\frac{ak}{m}$，$\frac{m}{a}$），
∵BE∥FG，
∴△DBE∽△DGF，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{BE}{GF}$=$\frac{\frac{ak}{m}}{a}$=$\frac{k}{m}$，
∵AF∥AE，
∴△CAF∽△CHE，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{AF}{EH}$=$\frac{\frac{k}{a}}{\frac{m}{a}}$=$\frac{k}{m}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{CF}{CE}$，即$\frac{DE}{DE+EF}$=$\frac{CF}{CF+EF}$，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{CF}{EF}$，
∴DE=CF，所以②正确．
故选A．

点评 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．判断②的关键是利用相似比，用k和m表示出$\frac{DE}{DF}$和$\frac{CF}{CE}$．