Question

如图，已知一次函数y=kx+l（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=的图象在第一象限交于C点，C点的横坐标为2。     
（1）求一次函数的解析式；   
（2）求△AOC的面积；     
（3）P是x轴上一动点，是否存在点P，使得由 A、P、C三点构成的三角形是直角三角形，若存在， 求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当x=2时，y==2   ∴C（2，2） ∴C在y=kx+1图象上，∴2k+1 =2，k=，∴y=x+1 （2）过C作CD上x轴于D（如图1） 当y=0时，y=x+1=0，得x= -2，则A（-2，0） ∴S△AOC=·OA·CD=×2×2=2 （3）存在点P，使得由A、P、C三点构成的三角形是直角三角形，有两种情况： ①若∠CPA =90°（如图2），则OP=2，P（2，0） ②若∠ACP =90°（如图3），∵A（-2，0），B（0，1），C（2，2） ∴AB=，AC=2，OA=2 ∵ ∠ACP = ∠BOA=90°,  ∠BAO = ∠PAC,  ∴ △ABO ∽△APC  ∴   ∴ 解得AP=5 ∴OP=3   ∴P（3，0） 综上所述，P点坐标（2，0）或（3，0）