Question

17．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AB于点E．
（1）求证：∠E=∠C；
（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；
（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OB．先证明∠ABO、∠CBD均为直角，然后依据同角的余角相等证明∠ABD=∠CBO，接下来，结合等腰三角形的性质和平行线的性质进行证明即可；
（2）连接OB，先求得AB的长，然后由平行线分线段成比例定理求得BE的长，最后再△BOE中依据勾股定理可求得OE的长；
（3）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）证明：如图1：连接OB．

∵CD为圆O的直径，
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°．
∵AE是圆O的切线，
∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°．
∴∠ABD=∠CBO．
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBO．
∴∠C=∠ABD．
∵OE∥BD，
∴∠E=∠ABD．
∴∠E=∠C；

（2）解：∵⊙O的半径为3，AD=2，
∴AO=5，∴AB=4．
∵BD∥OE，
∴$\frac{AD}{AO}=\frac{AB}{AE}$，即$\frac{2}{5}=\frac{4}{AE}$，
∴AE=10；

（3）∵S_△AOE=$\frac{1}{2}$AE•OB=15，
∵∠C=∠E，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△AOE}}$=（$\frac{AC}{AE}$）²=$\frac{16}{25}$，
∴S_△ABC=15×$\frac{16}{25}$=$\frac{48}{5}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理的应用、等腰三角形的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理的应用，求得BE的长是解答本题的关键．