Question

18．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DG∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，从而得到DG∥EF，DG=EF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点O作OM⊥BC于M，由含30°的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质求得结果．

解答 证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；


（2）解：过点O作OM⊥BC于M，
Rt△OCM中，∠OCM=30°，OC=4
∴OM=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴CM=2$\sqrt{3}$，
Rt△OBM中，∠OBM=∠BOM=45°，
∴BM=OM=2，
∴BC=2+2$\sqrt{3}$，
∴EF=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含30°角，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，熟记定理是解题的关键．