Question

3．（1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数；  
（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B=x°，∠C=（x+36）°，
①∠CAE=72°-x°（含x的代数式表示）
②求∠F的度数．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=50°，∠ADC=90°，则∠CAD=90°-∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠CAD计算即可；
（2）根据题意可知∠B=x°，∠C=（x+36）°，根据三角形的内角和定理可知∠ADC+∠DAC+∠C=180°，∠ADC=∠B+∠BAF，根据角平分线的性质，可知∠EAC=∠BAF，可得出∠ADC的度数，再根据FD⊥BC，可得出∠F的度数．

解答 解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，
∵AD是△ABC角平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=50°，
∵AE分别是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°；    
（2）①∵∠B=x°，∠C=（x+36）°，AF平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAF，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}×$[180°-x°-（x+36）°]=72°-x°，
②∠AEC=∠BAE+∠B=72°，
∵FD⊥BC，
∴∠F=18°．

点评 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高以及三角形内角和定理，掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，正确运用数形结合思想是解题的关键．