Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点．以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED，井延长ED到点F，使EF=AB，连接FC，问∠F和∠A是否相等？为什么？

Answer 1

分析 由等边对等角知∠B=∠ACB，ACB=∠EDB，有∠ACB=∠EDB，由同位角相等，两直线平行知AC∥EF，由平行线的性质知BD=CD，∠A=∠BED，故由ASA证得△EDB≌△FDC⇒∠F=∠BED，所以有∠F=∠A．

解答 证明：∵AB=AC，BE=DE，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠EDB，
∴AC∥EF，∠A=∠BED，
∵点E是AB的中点，AC∥EF，
∴ED是△ABC的中位线，
∴D是BC的中点，DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}EF$，
∴ED=DF，∠EDB=∠FDC，
在△EDB与△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠EDB=∠FDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△FDC（SAS），
∴∠F=∠BED，
∴∠F=∠A．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；解题中利用了等边对等角，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质求解，三角形全等的证明是解答本题的关键．