Question

15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，联结A0，并延长与BC交于点D．求证：AD⊥BC．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，由角平分线的定义得到∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}∠$ACB，等量代换得到∠OBC=∠OCB，根据等腰三角形的判定得到OB=OC，即可得到结论．

解答 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，点A在线段BC的垂直平分线上，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴点O在BC 的垂直平分线上，
∴AD⊥BC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质和判定，角平分线的定义，熟记线段垂直平分线的判定是解题的关键．