Question

5．在平面直角坐标系中，已知坐标原点为点O，△AOM的另两个顶点的坐标为A（-1，$\sqrt{3}$）、M（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），且B（2，0），点C在x轴上，求出点C的坐标，使以点A、B、C为顶点的三角形与△AOM相似．

Answer 1

分析 首先画出图形，并利用余切的定义与特殊角的三角函数值求出∠1，∠2，∠ABO的度数，进而可以判断出当以点A、B、C为顶点的三角形与△AOM相似时，顶点O与B是对应点，点C在点B的右侧，然后分两种情况，利用相似三角形对应边的比相等的性质求解即可．

解答 解：如图，∵A（-1，$\sqrt{3}$）、M（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），且B（2，0），
∴tan∠1=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠1=30°，∠2=30°，∠AOB=30°，
∴∠AOM=150°，∠AOB的邻补角为150°，AB=$2\sqrt{3}$，
∴当以点A、B、C为顶点的三角形与△AOM相似时，顶点O与B是对应点，点C在点B的右侧，
当△ABC∽△AOM时，有$\frac{AB}{AO}=\frac{BC}{OM}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{BC}{\frac{2}{3}\sqrt{3}}$，
解得BC=2，
则OC=OB+BC=4，所以点C的坐标为（4，0）；
当△CBA∽△AOM时，有$\frac{CB}{AO}=\frac{BA}{OM}$，即$\frac{CB}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{2}{3}\sqrt{3}}$，
解得BC=6，
则OC=OB+BC=8，所以点C的坐标为（8，0），
∴点C的坐标为（4，0）或（8，0）．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解直角三角形等知识，具有一定的综合性，解题时要注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．