Question

17．α，β是关于x的方程x²+kx-1=0的两个实根，若（|α|-β）（|β|-α）≥1，则实数k的取值范围是k≥$\sqrt{\sqrt{5}-2}$．

Answer 1

分析 首先根据根与系数的关系确定方程有两个异号根，然后设α为正β为负，从而将（|α|-β）（|β|-α）≥1化简，然后根据α-β为正，代入求解即可．

解答 解：∵α，β是关于x的方程x²+kx-1=0的两个实根，
∴α+β=-k，αβ=-1，
∴方程必有2个异号根，不妨设α为正β为负，
∵（|α|-β）（|β|-α）≥1，
∴-（α+β）（α-β）≥1 …（1），
又∵α-β为正，
∴（α-β）²=（α+β）²-4αβ=k²+4，
把它们代入（1）式：k$\sqrt{{k}^{2}+4}$≥1…（2）
由 β²-α²≥1＞0 及 α为正β为负 知：-β＞α＞0，所以 α+β=-k＜0
即 k＞0 …（3）
由（2），（3）解得：k≥$\sqrt{\sqrt{5}-2}$，
故答案为：k≥$\sqrt{\sqrt{5}-2}$．

点评 本题考查了一元二次方程根的分布，确定本题中有两个异号根是解答本题的突破口，能够利用根与系数的关系进行正确的等式变换是解答本题的基础，难度偏大．