Question

12．如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y₁=kx+b的图象和反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
（1）求一次函数、反比例函数的关系式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当自变量x满足什么条件时，y₁＞y₂？（直接写出答案）
（4）将反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$的图象向右平移n（n＞0）个单位，得到的新图象经过点（3，-4），求对应的函数关系式y₃．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）把B（2，-4）代入反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$即可得反比例函数的解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得A（-4，2），然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据一次函数解析式求C点坐标，确定△AOC的底边OC，然后根据S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC求出△AOB的面积．
（3）观察图象得到当x＜-4或0＜x＜2时，一次函数y₁的图象都在反比例函数y₂的图象的上方，即y₁＞y₂．
（4）根据题意得到的新图象的解析式为y=-$\frac{8}{x-n}$，然后把（3，-4）代入即可得到n的值，从而求得对应的函数关系式y₃的解析式．

解答 解：（1）把B（2，-4）代入反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$得m=-4×2=-8，
∴反比例函数的解析式y₂=-$\frac{8}{x}$，
∵A（-4，n）是反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$的图象上的点，
∴n=-$\frac{8}{-4}$=2，
∴A（-4，2），
∵A（-4，2），B（2，-4）是一次函数y₁=kx+b的图象上的点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y₁=-x-2．

（2）由直线y=-x-2，得C（-2，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC
=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4
=6．

（3）由图象可知：当x＜-4或0＜x＜2 时，y₁＞y₂．

（4）函数y=-$\frac{8}{x}$的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的新图象的解析式为y=-$\frac{8}{x-n}$，
把（3，-4）代入得-4=-$\frac{8}{3-n}$，解得n=1；
所以对应的函数关系式为y₃=-$\frac{8}{x-1}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：同时满足反比例函数的解析式和一次函数的解析式的点的坐标为它们图象的交点坐标．也考查了待定系数法求函数的解析式、坐标轴上点的坐标特点以及会运用图形的平移确定点的坐标．