Question

【题目】我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．

（发现与证明）ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．

结论1：△AB′C与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形；

结论2：B′D∥AC

…

（应用与探究）

在ABCD中，已知BC=2，∠B=45°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．若以A、C、D、B′为顶点的四边形是正方形，求AC的长．(要求画出图形)

Answer 1

【答案】[发现与证明]：证明见解析；[应用与探究]：AC的长为或2．

【解析】

[发现与证明]由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB′，证出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；得出DE=B′E，证出∠CB′D=∠B′DA= (180°-∠B′ED)，由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；

[应用与探究]：分两种情况：①由正方形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；

②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2．

解：[发现与证明]：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠EAC=∠ACB，

∵△ABC≌△AB′C，

∴∠ACB=∠ACB′，BC=B′C，

∴∠EAC=∠ACB′，

∴AE=CE，

即△ACE是等腰三角形；

∴DE=B′E，

∴∠CB′D=∠B′DA=(180°-∠B′ED)，

∵∠AEC=∠B′ED，

∴∠ACB′=∠CB′D，

∴B′D∥AC；

[应用与探究]：分两种情况：①如图1所示：

∵四边形ACDB′是正方形，

∴∠CAB′=90°，

∴∠BAC=90°，

∵∠B=45°，

∴AC=BC=；

②如图2所示：AC=BC=2；

综上所述：AC的长为或2．