Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，试判断四边形ABCD的形状并证明．

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：

分析：根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠CBD，然后求出∠ABD=∠ADB=∠CBD，再根据等角对等边可得AB=AD，再根据等腰三角形三线合一可得BO=DO，然后利用“角边角”证明△AOD和△COB全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．

解答：证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB=∠CBD，
∴AB=AD，
设AC、BD相交于点O，
又∵AC平分∠BAD，
∴BO=DO，AC⊥BD，
在△AOD和△COB中，

∠ADB=∠CBD OB=OD ∠AOD=∠COB=90°

，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，主要利用了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形和菱形的判定．