Question

已知，如图所示，△ABC中，∠ACB=60°，延长AC到D，使CD=

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AC，若∠CDB=45°．求∠ABC的度数．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：作AE⊥BC于E，连接DE，如图，设CD=a，则AC=2a，在Rt△AEC中，由于∠ACB=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=

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AC=a，则CE=CD，根据等腰三角形的性质得∠CED=∠CDE，再根据三角形外角性质可计算出∠CDE=30°，于是有∠EAD=∠EDA=30°，则ED=EA；接着计算∠EDB=∠CDB=15°，∠CBD=15°，由此得到EB=ED，所以AE=BE，于是可得到∠ABC=45°．

解答：解：作AE⊥BC于E，连接DE，如图，设CD=a，则AC=2a，
在Rt△AEC中，∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=30°，
∴CE=

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AC=a，
∴CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
而∠CED+∠CDE=∠ACE=60°，
∴∠CDE=30°，
∴∠EAD=∠EDA=30°，
∴ED=EA，
∵∠CDB=45°，
∴∠EDB=∠CDB=15°，
∵∠ACB=∠CBB+∠CBD，
∴∠CBD=60°-45°=15°，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
∴AE=BE，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．记住含30度的直角三角形三边的关系．