Question

如图所示，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD．求证：PA与⊙O相切．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：利用圆周角定理进而得出∠EBA=90°，再利用角平分线的性质以及外角的性质和等腰三角形的性质求出∠1=∠ABC，以及∠CAE+∠1=90°，进而得出答案．

解答：解：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠EBA=90°，
∵PA=PD，
∴∠1+∠CAD=∠2，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠ABD+∠BAD=∠2，
∴∠1=∠ABC，
∵∠CBE=∠EAC，∠ABC+∠CBE=90°，
∴∠CAE+∠1=90°，
∴PA与⊙O相切．

点评：此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理以及三角形外角的性质和等腰三角形的性质等知识，得出∠1=∠ABC是解题关键．