Question

已知在△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC，求证：△ABC为直角三角形．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：作出图形，作∠ABC的平分线BD交AC于D，过点D作DE⊥AB于E，然后求出∠ABD=∠CBD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=BE，再求出BE=BC，然后利用“边角边”证明△BCD和△BED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠BED=90°．

解答：证明：如图，作∠ABC的平分线BD交AC于D，过点D作DE⊥AB于E，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠B=2∠A，
∴∠ABD=∠CBD=∠A，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE=

1

2

AB，
又∵AB=2BC，
∴BE=BC，
在△BCD和△BED中，

BE=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD

，
∴△BCD≌△BED（SAS），
∴∠C=∠BED=90°，
∴△ABC为直角三角形．

点评：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．