Question

已知x₁，x₂是一元二次方程2x²-2x+m+1=0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x₁，x₂满足不等式7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，且m为整数，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-2）²-4×2×（m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁x₂=

m+1

2

，再变形已知条件得到7+4x₁x₂＞（x₁+x₂）²-2x₁x₂，于是有7+6•

m+1

2

＞1，解得m＞-3，所以m的取值范围为-3＜m≤-

1

2

，然后找出此范围内的整数即可．

解答：解：（1）根据题意得△=（-2）²-4×2×（m+1）≥0，
解得m≤-

1

2

；
（2）根据题意得x₁+x₂=1，x₁x₂=

m+1

2

，
∵7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，
∴7+4x₁x₂＞（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
即7+6x₁x₂＞（x₁+x₂）²，
∴7+6•

m+1

2

＞1，解得m＞-3，
∴-3＜m≤-

1

2

，
∴整数m的值为-2，-1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．