Question

已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，P是AC上一点，D是BC延长线上一点，且PB=PD，过D点作DE⊥AC，交AC延长线于点E，求AP与CE之间的数量关系．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：过P点作PF⊥AB于F，先根据AAS证得△PBF≌△DPE，得出PF=DE，然后再证得△APF≌△CDE得出AP=CD，再根据含30°的直角三角形的性质得出CD=2CE，进而得出AP与CE之间的数量关系．

解答：解：过P点作PF⊥AB于F，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=30°，
∴CD=2CE，∠EPD=90°-∠PDE=90°-∠CDE-∠PDB=60°-∠PDB=60°-∠PBD，
∵∠FBP=∠ABC-∠PBD=60°-∠PBD，
∴∠FBP=∠EPD，
在△PBF和△DPE中，

∠FBP=∠EPD ∠PFB=∠DEP=90° BP=PD

，
∴△PBF≌△DPE（AAS），
∴PF=DE，
在△APF和△CDE中，

∠A=∠ECD=60° ∠PFA=∠DEC=90° PF=DE

，
∴△APF≌△CDE（AAS），
∴AP=CD，
∴AP=2CE．

点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键．