Question

如图，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线．
（1）若∠A=90°，求∠ABC和∠CDE的度数；
（2）若AC=9，△ADB的周长为15，求AB的长．

Answer 1

解：（1）∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD=DB，
∴∠C=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD，
又∵在Rt△ABC中，∠A=90°，且∠A+∠C+∠ABD+∠DBC=180°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
又∵DE是BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠C=30°，∠C+∠DEC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=60°；

（2）∵CD=DB，且△ADB周长为15，
∴AB+BD+AD=AB+CD+AD
=AC+AB
=15
又∵AC=9
∴AB=6
分析：（1）先由角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC，再由线段垂直平分线的性质及等边对等角得出∠C=∠DBC，根据直角三角形的性质得出∠C=30°，再由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）由CD=DB且△ADB周长为15可得出AC+AB，根据AC=9即可求出AB的长．
点评：本题考查的是线段垂直平分线及角平分线的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．