Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（0，4）为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t（秒）．
（1）当t=1时，得到P₁、Q₁两点，求经过A、P₁、Q₁三点的抛物线解析式及对称轴l；
（2）当t为何值时，直线PQ与⊙C相切并写出此时点P和点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP+NQ最小，求出点N的坐标并说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得A、P₁、Q₁的坐标分别为A（0，8）、P₁（1，8）、Q₁（4，0）
设所求抛物线解析式为y=ax²+bx+c
则
∴a=-，b=，c=8
∴所求抛物线为y=-x²++8
对称轴为直线l：x=；

（2）设t=a时，PQ与⊙C相切于点M
连接CP、CM、CQ，则PA=PM=a，QO=QM=4a
又∵CP、CQ分别平分∠APQ和∠OQP，
而∠APQ+∠OQP=180°
∴∠PCQ=90°
∴PC⊥CQ
∴Rt△CMP∽Rt△QMC
∴即
∴a=±2
由于时间a只能取正数，
所以a=2
即当运动时间t=2时，PQ与⊙C相切
此时：P（2，8），Q（8，0）；

（3）点P关于直线l的对称点为P（-1，8）
则直线PQ的解析式为：y=
当x=时，y=-×+==．
因此N点的坐标为（，）．
分析：（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P₁，Q₁的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．
（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由此可求出a的值．
（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，可先求出直线P′Q的解析式，进而可求出N点的坐标．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、切线长定理等知识点．