Question

7．情景再现
通过“活动 思考”一节的学习，小红知道了：把一张长方形纸片按下图要求折叠、裁剪、展开，可以得到由长方形裁剪出的一个最大正方形．
操作探究
聪明的小红在学习了这一个知识后给出了一个“可裁长方形”的定义：当相邻两边长分别为1，a（a＞1）的长方形通过上述方法裁剪掉一个最大的正方形后，再在剩下的部分裁剪出一个最大的正方形，如此反复，最后剩下的部分也是一个正方形，像这样一类长方形称为可裁长方形．并进行了以下探索：
（1）当一个可裁长方形只经过一次裁剪就可以得到全部正方形，则a的值为2；
（2）当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的a的值为1.5或3；
（3）当一个可裁长方形只经过三次裁剪就可以得到全部正方形，画出所有符合条件可裁长方形，标注出裁剪线，并在对应的图形下方写出a的值．
方法迁移
取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1；若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，
即：5$\stackrel{×3+1}{→}$16$\stackrel{÷2}{→}$8$\stackrel{÷2}{→}$4$\stackrel{÷2}{→}$2$\stackrel{÷2}{→}$1，
（1）自然数12最少经过9步运算可得到1
（2）如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为128、21、20、3．

Answer 1

分析 操作探究（1）根据操作的方法可得a=2；
（2）当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的a的值为3个1或1为2个（a-1）；
（3）结合（1）、（2）题作出图形；
方法迁移（1）利用列举法，尝试最小的几个非0自然数，再结合“自然数5．最少经过5步运算可得1”，即可得出结论；
（2）首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．

解答 解：操作探究：
（1）当一个可裁长方形只经过一次裁剪就可以得到全部正方形，则a的值为2个1，
故答案为：2；
（2）当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的a的值为3个1或1为2个（a-1），
故答案为：1.5或3；
（3）当一个可裁长方形只经过三次裁剪就可以得到全部正方形，画出符合条件可裁长方形如图：

方法迁移：
（1）12$\stackrel{÷2}{→}$6$\stackrel{÷2}{→}$3$\stackrel{×3+1}{→}$10$\stackrel{÷2}{→}$5$\stackrel{×3+1}{→}$16$\stackrel{÷2}{→}$8$\stackrel{÷2}{→}$4$\stackrel{÷2}{→}$2$\stackrel{÷2}{→}$1，
自然数12最少经过9步运算可得到1，
故答案为：9；
（2）根据分析，可得

则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．
故答案为：128、21、20、3．

点评 （1）此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
（2）此题还考查了推理和论证问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．