Question

16．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$）cm²．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，由垂径定理可知AC=CB，利用正弦函数求得∠OAC=30°，进而求得∠AOC=120°，利用勾股定理即可求出AB的值，从而利用S_扇形-S_△AOB求得杯底有水部分的面积．

解答 解：作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
在RT△AOC中，sin∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$，
∴杯底有水部分的面积=S_扇形-S_△AOB=$\frac{120π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2=（$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$）cm²
故答案为（$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$）cm²．

点评 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．