Question

【题目】已知：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AC、BC上的点，连DE，且，tanB，如图1．

（1）如图2，将△CDE绕C点旋转，连AD、BE交于H，求证：AD⊥BE；

（2）如图3，当△CDE绕C点旋转过程中，当CH时，求AH﹣BH的值；

（3）若CD=1，当△CDE绕C点旋转过程中，直接写出AH的最大值是　　　　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2．

【解析】

（1）设BE交AC于O，首先证明△ACD∽△BCE，然后有∠DAC=∠EBC，通过等量代换即可得出结论；

（2）在HB上取一点T，使得HTAH，连接AT，首先通过三角函数证明∠ATH=∠ABC，然后证明△AHT∽△ACB，进而可证△CAH∽△BAT，则有，即可求解；

（3）因为AH=ABsin∠ABH，所以当∠ABH最大时，AH的值最大，此时CE⊥BE，此时四边形ECDH是矩形，然后利用矩形的性质和勾股定理即可求解．

（1）如图2中，设BE交AC于O．

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠ECB．

∵，

∴，

∴△ACD∽△BCE，

∴∠DAC=∠EBC．

∵∠AOH=∠BOC，

∴∠AHO=∠BCO=90°，

∴AD⊥BE．

（2）如图2中，在HB上取一点T，使得HTAH，连接AT．

在Rt△AHT中，tan∠ATH，

∵tan∠ABC，

∴∠ATH=∠ABC．

∵∠ATH+∠HAT=90°，∠ABC+∠CAB=90°，

∴∠HAT=∠CAB，

∴∠CAH=∠BAT，

∴△AHT∽△ACB，

∴，

∴，

∴△CAH∽△BAT，

∴，

∵HTAH，

设AH=m，则HTm，ATm，

∴，

∴BT．

（3）如图3中，

在Rt△AHB中，∵AH=ABsin∠ABH，∴当∠ABH最大时，AH的值最大，此时CE⊥BE．

∵∠DCE=∠CEH=∠EHD=90°，

∴此时四边形ECDH是矩形，

∴DH=EC，∠ADC=∠CDH=90°，

由题意CD=1，EC，AC，

∴DH=CE

在Rt△ACD中，AD，

∴AH=AD+DH2，

∴AH的最大值为2．