Question

【题目】如图，C是AB的垂直平分线EF上一点，连接CA，CB．以BC为直角边作Rt△BCD，且CB＝CD，AD交EF于点H，BH交DC于点M．

（1）求证：∠HAC＝∠HBC＝∠HDC；

（2）判断△DHB的形状，并证明你的结论；

（3）若DH＝1，AH＝7，则BC＝ ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△DHB是直角三角形，理由见解析；（3）5

【解析】

（1）根据垂直平分线的性质和等边对等角定理，可得到结论；

（2）在△HMD和△CMB中，有一对对顶角相等，由（1）知∠HBC＝∠HDC，故∠DHM＝∠BCM=90°，所以△DHB是直角三角形；

（3）先得出DH=AH=7,然后用两次勾股定理，分别得到BD和BC,从而得解.

（1）证明：∵C是AB的垂直平分线EF上一点，

∴AC=BC,

∴∠CAB＝∠CBA，

同理，∠HAB＝∠HBA，

∴∠HAB-∠CAB＝∠HBA-∠CBA即∠HAC＝∠HBC，

又∵CB＝CD，

∴AC=CD,

∴∠HAC＝∠HDC,

∴∠HAC＝∠HBC＝∠HDC；

（2）由已知得∠BCM=90°，

在△HMD和△CMB中，有一对对顶角相等，由（1）知∠HBC＝∠HDC，

故∠DHM＝∠BCM=90°，

所以△DHB是直角三角形；

（3）∵H是AB的垂直平分线EF上一点，

∴BH=AH=7，

在直角三角形DHB中，

,

在等腰直角三角形BCD中，

，

故答案为：5.