Question

15．已知AB为⊙O的直径，弦EF所在的直线与直径AB交于点M
（1）如图1，若M在⊙O内，写出∠AEF与∠BAF的数量关系，并证明；
（2）如图2，若M在⊙O外，写出∠AEF与∠BAF的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）连接BF，根据圆周角定理得∠ABF=∠AEF，∠AFB=90°，进而即可求得∠AEF+∠BAF=∠ABF+∠BAF=90°；
（2）连接BE，根据圆周角定理得∠BEF=∠BAF，∠AEB=90°，即可求得∠AEF-∠BAF=90°．

解答 证明：（1）如图1所示；连接BF，
则∠ABF=∠AEF，
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AEF+∠BAF=∠ABF+∠BAF=90°；

（2）如图2所示，连接BE，
则∠BEF=∠BAF，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEF=∠AEB+∠BEF=∠AEB+∠BAF=90°+∠BAF，
即∠AEF-∠BAF=90°．

点评 本题考查了圆周角定理，作出辅助线构建相等的圆周角是解题的关键．